Entdeckungen
8 Ergebnisse
Im Oktober 2026 habe ich mit einem KI-Assistenten eine Reihe von Computersuchen zu offenen Problemen durchgeführt, deren beste bekannte Antworten in öffentlichen Tabellen stehen. Dabei kamen neue Rekorde heraus, vier der Probleme sind jetzt exakt gelöst, und eine 2025 veröffentlichte Vermutung hat sich als falsch erwiesen. Zu jedem Ergebnis gehört eine Datei, die jeder prüfen kann.
Auf Zenodo veröffentlicht
Terminpläne (Überdeckungsdesigns)
- Das Rätsel
Eine Gruppe von Leuten trifft sich in kleineren Gruppen fester Größe, und jedes Paar muss in mindestens einem Treffen zusammensitzen; schwierigere Varianten verlangen das für jedes Trio oder jede Vierergruppe. Die kleinste Zahl von Treffen, die das schafft, heißt Überdeckungszahl. Für die meisten Größen kennt sie niemand, deshalb hält eine öffentliche Tabelle die besten bisher gefundenen Pläne fest.
- Was ich gefunden habe
Bei 68 Leuten, die sich zu sechst treffen, brauchte der beste bekannte Plan 160 Treffen. Ich habe einen mit 159 gefunden, und weniger geht nicht, damit ist dieser Fall gelöst. Dasselbe gelang bei 63 Leuten in Elfergruppen (42 Treffen auf 41), 76 Leuten in Neunergruppen (86 auf 85) und 86 Leuten in Siebenergruppen (186 auf 185). Insgesamt bekamen 27 Fälle kürzere Pläne, als die Tabelle verzeichnete.
- Seit wann
Die vier gelösten Fälle standen seit 2008 und 2009, die übrigen 23 Rekorde stammten aus der Zeit von 2009 bis März 2026. Die Tabelle selbst wird seit etwa 30 Jahren geführt, zuerst als La Jolla Covering Repository, heute unter coveringrepository.com.
- Warum es zählt
Die Tabelle ist ein Standardnachschlagewerk der Kombinatorik, der Mathematik der Anordnungen, und solche Designs dienen zur Planung von Experimenten und für Lottosysteme. Die meisten Verbesserungen sind klein, ein bis drei Treffen weniger; die vier gelösten Fälle sind endgültig.
Details
Überdeckungszahlen C(v,k,t): 27 neue obere Schranken, von denen vier die untere Schranke von Schönheim erreichen und exakt sind. Das Prüfprogramm im Archiv prüft jedes Design vollständig; die bisherigen Werte sind die, die coveringrepository.com am 26. Oktober 2026 verzeichnete.
| Neue Schranke | Bisher |
|---|---|
| C(63,11,2) = 41 | 42 |
| C(68,6,2) = 159 | 160 |
| C(76,9,2) = 85 | 86 |
| C(86,7,2) = 185 | 186 |
| C(41,6,3) ≤ 573 | 574 |
| C(46,8,4) ≤ 3553 | 3555 |
| C(47,8,4) ≤ 3985 | 3986 |
| C(49,7,3) ≤ 652 | 654 |
| C(49,7,4) ≤ 8802 | 8804 |
| C(52,7,3) ≤ 774 | 775 |
| C(58,10,2) ≤ 42 | 43 |
| C(61,8,3) ≤ 833 | 834 |
| C(70,8,3) ≤ 1238 | 1239 |
| C(75,24,4) ≤ 208 | 209 |
| C(76,23,4) ≤ 293 | 294 |
| C(77,8,3) ≤ 1672 | 1675 |
| C(77,24,4) ≤ 236 | 237 |
| C(83,23,4) ≤ 448 | 449 |
| C(84,14,2) ≤ 45 | 46 |
| C(86,9,3) ≤ 1543 | 1544 |
| C(89,8,3) ≤ 2610 | 2611 |
| C(92,7,3) ≤ 4442 | 4443 |
| C(93,7,3) ≤ 4660 | 4662 |
| C(93,24,4) ≤ 436 | 437 |
| C(95,7,3) ≤ 4787 | 4788 |
| C(96,7,3) ≤ 5040 | 5042 |
| C(99,7,3) ≤ 5418 | 5420 |
Preprint auf Zenodo
Netzwerke (Graphentheorie)
Eine Vermutung von 2025, widerlegt
- Das Rätsel
2025 haben vier Mathematiker im Electronic Journal of Combinatorics eine Vermutung veröffentlicht: Eine bestimmte Ungleichung über Netzwerke sollte für jedes Netzwerk gelten. Für einige Fälle haben sie sie bewiesen, und jedes Netzwerk mit bis zu 9 Knoten haben sie per Computer geprüft.
- Was ich gefunden habe
Ein Netzwerk mit 14 Knoten, gebaut aus der kleinsten endlichen Geometrie, der Fano-Ebene, in dem die Ungleichung nicht gilt, und ganze unendliche Familien von Netzwerken, in denen sie ebenfalls scheitert. Die Vermutung ist also falsch.
- Seit wann
Die Vermutung wurde 2025 veröffentlicht.
- Warum es zählt
Ein Gegenbeispiel entscheidet die Frage: So wie formuliert lässt sich die Vermutung nicht beweisen. Die Notiz ist ein Preprint und noch nicht begutachtet.
Details
Vermutung 20 von Chen, Guo, Li und Wang (Electron. J. Combin. 32(4) (2025) #P4.37) über den k-ten Laplace-Eigenwert eines Graphen und seines Komplements scheitert am Split-Graphen der Fano-Ebene mit n = 14 und k = 6 und an den Split-Graphen unendlich vieler symmetrischer Designs. Der Eintrag enthält exakte Beweise und ein Prüfskript.
Auf Zenodo veröffentlicht
Größere symmetrische Netze
- Das Rätsel
Möglichst viele Computer verbinden, wenn jeder eine feste Zahl von Kabeln haben darf, sodass jede Nachricht jeden anderen Computer in höchstens zwei Schritten erreicht. Öffentliche Tabellen verzeichnen die größten bekannten Netze dieser Art, mit einer eigenen Tabelle für Netze mit einer starken Art von Symmetrie.
- Was ich gefunden habe
Für fünf Kabelzahlen habe ich symmetrische Netze gefunden, die größer sind, als diese Tabelle verzeichnet, zum Beispiel 468 Computer mit je 27 Kabeln, wo die Tabelle 392 hatte.
- Seit wann
Die Tabelle der symmetrischen Netze wurde zuletzt 2022 aktualisiert.
- Warum es zählt
Die Frage kommt aus dem Entwurf von Rechner- und Kommunikationsnetzen. Für drei der fünf Kabelzahlen kennt man schon größere Netze ohne diese Symmetrie; es sind also Rekorde nur für die symmetrische Art.
Details
Fünf Cayley-Graphen vom Durchmesser 2, deren Ordnungen die Cayley-Graphen-Tabelle des Grad-Durchmesser-Problems (combinatoricswiki) übertreffen; die Tabelle für allgemeine Graphen übertreffen sie nicht.
| Neue Schranke | Bisher |
|---|---|
| d = 18: n = 210 | 200 |
| d = 19: n = 240 | 200 |
| d = 20: n = 264 | 210 |
| d = 22: n = 320 | 288 |
| d = 27: n = 468 | 392 |
Preprint auf Zenodo
Korrekturen zu einer zweiten Arbeit von 2025
- Das Rätsel
Eine zweite Arbeit von 2025, in der Zeitschrift Filomat, stellte zwei verwandte Vermutungen über Netzwerke auf, wieder eine Ungleichung, die für jedes Netzwerk gelten sollte.
- Was ich gefunden habe
So wie gedruckt sind beide Aussagen leicht falsch. Einer fehlt eine Ausnahme, der Ring aus fünf Knoten, und ein Schritt im Beweis eines Lemmas versagt bei Netzwerken aus getrennten Teilen. Die Notiz gibt diese kleinen Gegenbeispiele und eine korrigierte Fassung des Lemmas an.
- Seit wann
Die Arbeit erschien 2025. Die eigentliche Frage, für zusammenhängende Netzwerke, ist weiter offen.
- Warum es zählt
Eine kleine Korrektur am Stand der Dinge: Sie berichtigt, wie die Vermutungen formuliert sind, und lässt die eigentliche Frage offen. Die Notiz ist ein Preprint und noch nicht begutachtet.
Details
W.-J. Li und J.-M. Guo, Filomat 39:13 (2025) 4551-4564: Vermutung 1.2 scheitert am 5-Kreis, einer Ausnahme, die bei der Herleitung aus Vermutung 1.1 verloren ging, und Vermutung 1.1 scheitert an unzusammenhängenden Graphen wie C5 + K1, weil der Beweis von Lemma 2.1 annimmt, dass jede Komponente die Ungleichung erfüllt. Der Eintrag enthält exakte Rechnungen und ein korrigiertes Lemma 2.1.
Auf Zenodo veröffentlicht
Codes (Codierungstheorie)
- Das Rätsel
Möglichst wenige Folgen aus 20 Nullen und Einsen auswählen, sodass sich jede solche Folge von einer der ausgewählten an höchstens 3 Stellen unterscheidet. Eine solche Menge heißt Überdeckungscode, und die kleinstmögliche Größe ist unbekannt.
- Was ich gefunden habe
Eine Menge von 1917 Folgen, die das leistet. Die veröffentlichten Tabellen führten 2048 als besten bekannten Wert.
- Seit wann
Die Tabellen führten 2048 seit mindestens 1999, und die wichtigste hat sich seit 2009 nicht geändert.
- Warum es zählt
Überdeckungscodes sind ein klassisches Thema der Codierungstheorie, der Mathematik hinter zuverlässiger Übertragung und Speicherung von Daten, und solche Tabellen sind der Spielstand des Fachs. Der Abstand zur besten bekannten unteren Schranke, 892, bleibt groß.
Details
Binärer Überdeckungscode K(20,3) ≤ 1917, gegenüber 2048 in Kéris Tabelle (seit 2009 unverändert, untere Schranke 892) und in Litsyns Tabelle (zuletzt 1999 geändert), wo 2048 von einem linearen Code stammt. Das Skript im Archiv prüft alle 2^20 Wörter exakt; eine unabhängige Prüfung in C kommt zum selben Ergebnis.
| Neue Schranke | Bisher |
|---|---|
| K(20,3) ≤ 1917 | 2048 |
Auf Zenodo veröffentlicht
Geometrie
Weniger Kreuzungen
- Das Rätsel
Eine gegebene Zahl von Punkten auf ein Blatt setzen und jedes Paar mit einer geraden Linie verbinden. Ziel ist, die Punkte so zu setzen, dass sich möglichst wenige Linien kreuzen. Eine öffentliche Tabelle an der TU Graz verzeichnet die besten bisher gefundenen Anordnungen.
- Was ich gefunden habe
Für 13 Werte zwischen 55 und 100 Punkten habe ich Anordnungen mit weniger Kreuzungen gefunden, als die Tabelle verzeichnet, 1 bis 60 weniger. Bei 100 Punkten 1.463.417 Kreuzungen, wo die Tabelle 1.463.457 hatte.
- Seit wann
Die Tabelle wurde zuletzt im Mai 2015 aktualisiert, und ich habe seitdem keine veröffentlichte Verbesserung dieser Werte gefunden.
- Warum es zählt
Die Frage ist ein Klassiker der diskreten Geometrie und liegt nahe daran, wie Schaltpläne und Netzdiagramme gezeichnet werden. Die Grazer Gruppe hält für viele Größen unveröffentlichte Punktmengen; diese hier verbessern die öffentliche Tabelle, ob sie auch deren private Rekorde schlagen, ist offen.
Details
Geradlinige Kreuzungszahlen: Punktmengen in allgemeiner Lage für n = 55, 64, 66, 72, 74, 88, 93, 95, 96, 97, 98, 99 und 100 mit weniger Kreuzungen als in Oswin Aichholzers Tabelle (TU Graz, zuletzt geändert am 26. Mai 2015). Das Skript im Archiv prüft die allgemeine Lage und zählt die Kreuzungen exakt in ganzzahliger Arithmetik.
| Neue Schranke | Bisher |
|---|---|
| n = 55: 125201 | 125207 |
| n = 64: 234446 | 234447 |
| n = 66: 266150 | 266151 |
| n = 72: 380907 | 380925 |
| n = 74: 426392 | 426398 |
| n = 88: 867885 | 867887 |
| n = 93: 1087897 | 1087899 |
| n = 95: 1186885 | 1186887 |
| n = 96: 1238638 | 1238662 |
| n = 97: 1292296 | 1292312 |
| n = 98: 1347551 | 1347559 |
| n = 99: 1404532 | 1404592 |
| n = 100: 1463417 | 1463457 |
Auf Zenodo veröffentlicht
Münzen in einem Dreieck
- Das Rätsel
Eine gegebene Zahl gleicher Münzen ohne Überlappung in ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei gleich langen Seiten legen und die Münzen so groß wie möglich machen.
- Was ich gefunden habe
Für fünf Münzanzahlen, 164, 182, 193, 255 und 284, habe ich Anordnungen mit größeren Münzen gefunden als jeder öffentliche Rekord, den ich finden konnte. Die Münzen wachsen um höchstens 0,06 Prozent.
- Seit wann
Bei drei davon stammte der Rekord aus der Packomania-Tabelle, zuletzt im März 2011 aktualisiert; bei den anderen beiden hatten ihn Moki&Julio 2026 aufgestellt.
- Warum es zählt
In den Packomania-Tabellen werden Packungsrekorde verglichen, und Fragen wie diese sind nahe Verwandte praktischer Fragen, etwa Material mit wenig Verschnitt zu schneiden.
Details
Packungen gleich großer Kreise im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck mit Kathetenlänge 1, jeder Radius in exakter Dezimalarithmetik zertifiziert. Sie schlagen die Rekorde von Packomania in allen fünf Fällen und die von Moki&Julio in den zwei Fällen, die Moki&Julio führen; elf weitere Packungen aus derselben Suche fehlen hier, weil Moki&Julio sie erreichen oder übertreffen.
| Neue Schranke | Bisher |
|---|---|
| r164 ≥ 0.0282699699 | 0.0282698456 |
| r182 ≥ 0.0268918240 | 0.0268917976 |
| r193 ≥ 0.0261481472 | 0.0261431538 |
| r255 ≥ 0.0228693810 | 0.0228636249 |
| r284 ≥ 0.0217147355 | 0.0217014202 |
Eingereicht, in Begutachtung
Terence Taos Liste offener Probleme
- Das Rätsel
Terence Tao, Mathematiker und Träger der Fields-Medaille von 2006, führt eine öffentliche Liste mathematischer Konstanten, deren genauer Wert unbekannt ist. Zu jeder verzeichnet sie die besten bisher bewiesenen Schranken, und Forschende, manche mit KI-Systemen, verbessern sie laufend.
- Was ich gefunden habe
Bessere Schranken für zwei dieser Konstanten, aufbauend auf Arbeiten, die zwei andere Beitragende, echul-seal und V. Patankar, am selben Tag kurz zuvor eingereicht hatten. Zu jeder gehört eine Datei, die jeder exakt nachprüfen kann.
- Seit wann
Beide Konstanten kamen im Oktober 2026 auf die Liste, und ihre Schranken wurden seitdem schon mehrmals verbessert.
- Warum es zählt
Der Schritt ist klein, in der fünften und sechsten Nachkommastelle. Die Einreichung ist in Begutachtung und noch nicht angenommen.
Details
Exakte Treppenfunktionszertifikate für die Konstanten 1c und 1d in Terence Taos Sammlung von Optimierungskonstanten; sie verfeinern die Zertifikate aus den Pull Requests #269 von echul-seal und #270 von V. Patankar.
| Neue Schranke | Bisher |
|---|---|
| C1d ≤ 1.4556234448 | 1.455682936505816 |
| C1c ≥ 0.4103454241 | 0.4103432812 |
Methode
Suche und Verifikation erfolgten mit Claude (Anthropic) unter meiner Leitung.
Aktualisiert